К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 65 , AO = 97

Задача сводится к использованию геометрических свойств касательных и секущих, а также теоремы о касательной и секущей прямой.

Дано:

• Касательная $AB = 65$,
• Секущая $AO = 97$,
• Нужно найти радиус окружности $r$.

Решение:

1. Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$.

2. Касательная $AB$ к окружности проведена из точки $A$, а секущая линия $AO$ пересекает окружность в точке $P$.

3. По теореме о касательной и секущей прямой, касательная, проведенная из внешней точки окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. То есть, угол между радиусом $OB$ и касательной $AB$ равен $90^\circ$.

4. Из треугольника $OAB$ можно применить теорему Пифагора, так как это прямоугольный треугольник:

   $$OA^2 = OB^2 + AB^2$$

   Где:

   • $OA = AO = 97$ (секущая),
   • $AB = 65$ (касательная),
   • $OB = r$ (радиус окружности).

5. Подставляем известные значения:

   $$97^2 = r^2 + 65^2$$

   Считаем квадраты:

   $$9409 = r^2 + 4225$$

6. Теперь выражаем $r^2$:

   $$r^2 = 9409 - 4225 = 5184$$

7. Извлекаем квадратный корень из 5184:

   $$r = \sqrt{5184} = 72$$

Ответ: Радиус окружности равен 72.