Дана окружность с центром в точке о an-касательная св и са хорды известно что дуга ас=120 градусам дуга св:дуга ва=5:3 дуги св и ва меньше 180 градусов найдите угол аос угол авс угол вао градусную меру дуг ав и вс.

Давайте разберем задачу, шаг за шагом.

1. Дано:

   • Окружность с центром в точке $O$.
   • $AC$ — дуга с углом $\angle AOC = 120^\circ$.
   • Дуги $SV$ и $AB$ соотношением $\frac{SV}{AB} = \frac{5}{3}$.
   • Оба угла $SV$ и $AB$ меньше $180^\circ$.

2. Обозначения:

   • Пусть угол $AOB = x$.
   • Тогда дуга $AB$ равна $x$.
   • Поскольку сумма углов, соответствующих дугам, равна $360^\circ$, можно найти дугу $SV$: $$\text{Дуга } SV = 360^\circ - (120^\circ + x) = 240^\circ - x.$$

3. Соотношение между дугами:

   • Используя данное соотношение дуг, имеем: $$\frac{SV}{AB} = \frac{5}{3} \Rightarrow \frac{240^\circ - x}{x} = \frac{5}{3}.$$
   • Умножаем обе стороны на $3x$: $$3(240^\circ - x) = 5x.$$
   • Раскрываем скобки: $$720^\circ - 3x = 5x.$$
   • Перемещаем все $x$ на одну сторону: $$720^\circ = 8x \Rightarrow x = \frac{720^\circ}{8} = 90^\circ.$$
   • Таким образом, $\angle AOB = 90^\circ$.

4. Углы:

   • Теперь мы можем найти угол $AOC$: $$\angle AOC = 120^\circ.$$
   • Угол $ABC$ (или $\angle ABC$) можно найти с помощью свойства углов, опирающихся на одну и ту же дугу: $$\angle ABC = \frac{1}{2} \times (SV - AB) = \frac{1}{2} \times (240^\circ - 90^\circ) = \frac{1}{2} \times 150^\circ = 75^\circ.$$

5. Углы и их меры:

   • $\angle AOC = 120^\circ$
   • $\angle ABC = 75^\circ$
   • Теперь можно найти угол $BAO$ (или $\angle BAO$): $$\angle BAO = \angle AOB - \angle ABC = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ.$$

6. Градусные меры дуг:

   • Теперь, используя угол $AOB$:
     • Дуга $AB = 90^\circ$.
   • Дуга $SV$: $$\text{Дуга } SV = 240^\circ - 90^\circ = 150^\circ.$$

7. Итоги:

   • Угол $AOC = 120^\circ$.
   • Угол $ABC = 75^\circ$.
   • Угол $BAO = 15^\circ$.
   • Градусная мера дуги $AB = 90^\circ$.
   • Градусная мера дуги $SV = 150^\circ$.

Таким образом, все необходимые углы и меры дуг найдены.