Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если а) ВС=8, АВ =17

Полностью решение
(Дано,Найти,Решение)

Дано:

• Треугольник ABC с прямым углом в точке C.
• $BC = 8$
• $AB = 17$

Найти:

• Синус угла $\angle A$ ($\sin A$),

• Косинус угла $\angle A$ ($\cos A$),

• Тангенс угла $\angle A$ ($\tan A$).

• Синус угла $\angle B$ ($\sin B$),

• Косинус угла $\angle B$ ($\cos B$),

• Тангенс угла $\angle B$ ($\tan B$).

Решение:

1. Используем теорему Пифагора:

   Так как треугольник прямоугольный и угол $\angle C = 90^\circ$, то для нахождения стороны $AC$ можно использовать теорему Пифагора:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

   Подставим известные значения:

   $$17^2 = AC^2 + 8^2$$ $$289 = AC^2 + 64$$ $$AC^2 = 289 - 64 = 225$$ $$AC = \sqrt{225} = 15$$

   То есть, $AC = 15$.

2. Находим синус, косинус и тангенс углов $\angle A$ и $\angle B$:

   • Синус угла $A$:

     Синус угла $A$ определяется как отношение противолежащей стороны (стороны $BC$) к гипотенузе (стороне $AB$):

     $$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$$

   • Косинус угла $A$:

     Косинус угла $A$ определяется как отношение прилежащей стороны (стороны $AC$) к гипотенузе (стороне $AB$):

     $$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$$

   • Тангенс угла $A$:

     Тангенс угла $A$ определяется как отношение противолежащей стороны (стороны $BC$) к прилежащей стороне (стороне $AC$):

     $$\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}$$

3. Для угла $B$:

   Угол $B$ в треугольнике можно найти как $\angle B = 90^\circ - \angle A$. Таким образом, для угла $B$ можно использовать следующие соотношения:

   • Синус угла $B$:

     Синус угла $B$ равен косинусу угла $A$, так как синус и косинус взаимосвязаны для углов, которые в сумме дают $90^\circ$:

     $$\sin B = \cos A = \frac{15}{17}$$

   • Косинус угла $B$:

     Косинус угла $B$ равен синусу угла $A$:

     $$\cos B = \sin A = \frac{8}{17}$$

   • Тангенс угла $B$:

     Тангенс угла $B$ равен обратному тангенсу угла $A$:

     $$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8}$$

Ответ:

• $\sin A = \frac{8}{17}$,

• $\cos A = \frac{15}{17}$,

• $\tan A = \frac{8}{15}$.

• $\sin B = \frac{15}{17}$,

• $\cos B = \frac{8}{17}$,

• $\tan B = \frac{15}{8}$.