Две окружности с центрами О1 О2, радиусы которых равны пересекаются в точках М и N, через точку М проведена прямая параллейно О1 О2 и пересек окружность с центром О2 в точке Д. Используя параллейный перенос докажите, что 4-х угольник О1МДО2 является параллелограмом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник $O_1MD O_2$ является параллелограммом, можно использовать метод параллельного переноса. Рассмотрим задачу шаг за шагом.

Шаг 1. Установим основные факты

1. Пусть две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ имеют одинаковые радиусы и пересекаются в точках $M$ и $N$.
2. Через точку $M$ проведена прямая, параллельная линии $O_1 O_2$, которая пересекает окружность с центром в $O_2$ в точке $D$.

Нам нужно доказать, что четырёхугольник $O_1 M D O_2$ является параллелограммом, т.е. противоположные стороны этого четырёхугольника должны быть параллельны и равны.

Шаг 2. Рассмотрим параллельный перенос

Для этого можно выполнить параллельный перенос, который переносит одну из сторон четырёхугольника на другую, используя свойства параллельных прямых и равенства отрезков.

1. Мы знаем, что прямая $O_1 M$ параллельна прямой $O_2 D$, так как они обе параллельны прямой $O_1 O_2$.
2. Рассмотрим перенос точки $O_1$ в точку $O_2$ вдоль прямой $O_1 O_2$. Перенос сохраняет расстояния и углы, и при этом переносимая точка $O_1$ будет отображена в точку $O_2$, а прямая $O_1 M$ перейдёт в прямую $O_2 D$.
3. В результате параллельного переноса параллельной прямой $O_1 M$ на прямую $O_2 D$ мы получаем, что отрезок $O_1 M$ будет равен отрезку $O_2 D$.

Шаг 3. Параллельность и равенство сторон

Теперь, после выполнения параллельного переноса, можно заключить следующее:

• Отрезки $O_1 M$ и $O_2 D$ равны по длине, потому что они являются изображениями друг друга при параллельном переносе.
• Прямые $O_1 M$ и $O_2 D$ параллельны, так как они обе параллельны линии $O_1 O_2$.

Аналогично, отрезки $O_1 D$ и $O_2 M$ также равны и параллельны, так как они являются образами друг друга при параллельном переносе.

Шаг 4. Заключение

Так как противоположные стороны четырёхугольника $O_1 M D O_2$ равны и параллельны, это означает, что четырёхугольник является параллелограммом по определению.

Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник $O_1 M D O_2$ является параллелограммом.