На стороне AC треугольника ABC отложен отрезок AM, равный третьей части стороны AB, а на стороне AB — отрезок AN, равный третьей части стороны AC. Найдите MN, если BC=15.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Менелая или координатным методом.

Шаг 1: Введение обозначений и координат

Пусть $A$, $B$, и $C$ — вершины треугольника. Расположим их на координатной плоскости:

• $A(0, 0)$,
• $B(a, 0)$,
• $C(0, b)$, где $a$ и $b$ — длины сторон, соответствующих $AB$ и $AC$.

Шаг 2: Найдём координаты точек $M$ и $N$

1. Точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $1:2$:

   $$M = \left(\frac{2}{3}a, 0\right).$$

2. Точка $N$ делит сторону $AC$ в отношении $1:2$:

   $$N = \left(0, \frac{2}{3}b\right).$$

Шаг 3: Найдём длину отрезка $MN$

Отрезок $MN$ соединяет точки $M$ и $N$. Расстояние между двумя точками на плоскости вычисляется по формуле:

Подставим координаты $M$ и $N$:

Шаг 4: Связь $a$, $b$, и $BC$

По теореме Пифагора для треугольника $ABC$:

где $BC = 15$. Тогда:

Шаг 5: Подставим значение в формулу для $MN$

Ответ:

Длина отрезка $MN$ равна 10.