Дан треугольник АВС, М є АВ, К є ВС, ВМ : МА = 3 : 4. Через прямую МК проходит плоскость α, параллельная прямой АС. а) Докажите, что ВС : ВК = 7 : 3. б) Найдите длину отрезка МК, если АС = 14 см.

Задача представляет собой задачу на подобие треугольников, пропорции и теорему о параллельности прямых. Рассмотрим решение поэтапно.

Часть а) Докажите, что $\frac{ВС}{ВК} = \frac{7}{3}$

У нас есть треугольник $ABC$, и точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Из условия известно, что $\frac{ВМ}{МА} = \frac{3}{4}$. Кроме того, плоскость $\alpha$, проходящая через прямую $МК$, параллельна прямой $АС$.

Шаг 1: Используем подобие треугольников.
Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $АС$, то прямая $МК$ будет параллельна прямой $АС$. Это важный момент, так как параллельность прямых означает, что треугольники $BMC$ и $ABC$ будут подобны по признаку параллельных сторон и общему углу в вершине $B$.

Шаг 2: Применяем теорему о пропорциональных отрезках.
Так как треугольники $BMC$ и $ABC$ подобны, то их соответствующие стороны пропорциональны. Это означает, что:

Теперь из условия, что $\frac{ВМ}{МА} = \frac{3}{4}$, можно записать:

Таким образом, из подобия треугольников, имеем:

Шаг 3: Известный факт о пропорциональных отрезках. Из предыдущего шага можно заключить, что:

Это и требовалось доказать.

Часть б) Найдите длину отрезка $МК$, если $АС = 14 \, \text{см}$.

Теперь, когда мы знаем, что $\frac{МК}{АС} = \frac{3}{7}$, можем найти длину отрезка $МК$.

Шаг 1: Применим пропорцию.
Из предыдущей части задачи у нас есть пропорция:

Подставим значение длины $АС$ (14 см):

Шаг 2: Решим пропорцию.
Теперь решим для $МК$:

Таким образом, длина отрезка $МК$ равна 6 см.

Ответ:

а) $\frac{ВС}{ВК} = \frac{7}{3}$.

б) Длина отрезка $МК$ равна 6 см.