вершины треугольника АВС имеют следующие координаты: A ( 8; -3 ) , B (5;1) , С ( 12; 0) Докажите, что ∟ В = ∟ С Решите пожалуйста .

Для того чтобы доказать, что угол ∟В = ∟С в треугольнике ABC с вершинами A(8, -3), B(5, 1), C(12, 0), нужно воспользоваться понятием скалярного произведения вектора.

Шаг 1: Найдем векторы, образующие углы ∟В и ∟С.

1. Вектор AB: Вектор AB направлен от точки B(5, 1) к точке A(8, -3). Его координаты равны разнице соответствующих координат точек A и B:

   $$\overrightarrow{AB} = (8 - 5, -3 - 1) = (3, -4)$$

2. Вектор BC: Вектор BC направлен от точки B(5, 1) к точке C(12, 0). Его координаты равны разнице соответствующих координат точек C и B:

   $$\overrightarrow{BC} = (12 - 5, 0 - 1) = (7, -1)$$

3. Вектор AC: Вектор AC направлен от точки A(8, -3) к точке C(12, 0). Его координаты равны разнице соответствующих координат точек C и A:

   $$\overrightarrow{AC} = (12 - 8, 0 - (-3)) = (4, 3)$$

Шаг 2: Используем скалярное произведение для вычисления углов.

Чтобы доказать, что углы ∟B и ∟C равны, нужно показать, что косинус этих углов одинаков. Для этого вычислим скалярные произведения векторов, образующих эти углы, и используем формулы для косинусов углов между векторами.

• Косинус угла ∟ABC между векторами AB и BC можно выразить через скалярное произведение:

  $$\cos(\angle ABC) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{BC}|}$$

  где:

  $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 3 \cdot 7 + (-4) \cdot (-1) = 21 + 4 = 25$$

  Длина вектора AB:

  $$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

  Длина вектора BC:

  $$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$$

  Таким образом, косинус угла ∟ABC:

  $$\cos(\angle ABC) = \frac{25}{5 \cdot \sqrt{50}} = \frac{25}{5\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

• Косинус угла ∟ACB между векторами AC и BC можно выразить аналогично:

  $$\cos(\angle ACB) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{BC}|}$$

  где:

  $$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = 4 \cdot 7 + 3 \cdot (-1) = 28 - 3 = 25$$