Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 9 см, а площадь её полной поверхности 144 см.Определите сторону основания и боковое ребро

Чтобы найти сторону основания и боковое ребро правильной четырёхугольной призмы, воспользуемся данными из задачи: диагональ призмы равна 9 см, а площадь её полной поверхности равна 144 см².

1. Основные свойства правильной четырёхугольной призмы

• Основание призмы — квадрат.
• Диагональ правильной четырёхугольной призмы выражается через сторону основания $a$ и высоту (боковое ребро) $h$: $$d = \sqrt{a^2 + h^2}.$$
• Полная поверхность призмы включает:
  • Две площади оснований ($2 \cdot a^2$), так как основания — квадраты.
  • Четыре боковые поверхности ($4 \cdot a \cdot h$), так как боковые грани — прямоугольники.

Формула полной поверхности:

2. Найдём выражения для стороны основания $a$ и бокового ребра $h$

Используем формулу диагонали:

Подставим $d = 9$:

Возведём в квадрат:

Используем формулу полной поверхности:

Подставим $S = 144$:

Упростим:

Теперь у нас есть две уравнения:

1. $a^2 + h^2 = 81,$
2. $a^2 + 2ah = 72.$

3. Решение системы уравнений

Из первого уравнения выразим $h^2$:

Подставим во второе уравнение:

Решим это уравнение:

1. Изолируем корень:

2. Возведём обе стороны в квадрат:

Упростим правую часть:

3. Умножим на $4a^2$, чтобы убрать знаменатель:

Раскроем скобки:

Перенесём всё в одну сторону:

Решим уравнение относительно $a^2$:

Обозначим $x = a^2$:

Решим квадратное уравнение через дискриминант: