Углы ромба относятся как 1:3 .Найдите периметр ромба,если меньшая диагональ равна 15 см.

Ответы на вопрос

Отвечает Кушнарева Елизавета.

Чтобы решить задачу, давайте разберемся с условиями и шагами решения.

1. Понимание соотношения углов ромба

Ромб имеет следующие свойства:

Углы противоположные равны.
Сумма соседних углов равна $180^\circ$ .

В условии сказано, что углы ромба относятся как $1:3$ . Пусть меньший угол равен $x$ , а больший — $3x$ . Тогда сумма углов:

x + 3x = 180^\circ

4x = 180^\circ \implies x = 45^\circ

Таким образом:

Меньший угол равен $45^\circ$ .
Больший угол равен $135^\circ$ .

2. Диагонали ромба

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Пусть диагонали ромба равны $d_1$ (меньшая диагональ) и $d_2$ (большая диагональ). В условии дано, что $d_1 = 15 \, \text{см}$ .

Обозначим половины диагоналей через $\frac{d_1}{2} = 7.5 \, \text{см}$ и $\frac{d_2}{2} = x \, \text{см}$ .

3. Использование треугольника

Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике гипотенуза равна стороне ромба, а катеты — это половины диагоналей.

Используем теорему Пифагора:

\text{Сторона ромба}^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2

\text{Сторона ромба}^2 = 7.5^2 + x^2

\text{Сторона ромба} = \sqrt{7.5^2 + x^2}

4. Соотношение углов и диагоналей

В треугольниках, образованных диагоналями, меньший угол ромба ( $45^\circ$ ) определяет связь между катетами и диагоналями. По свойству ромба:

\tan(45^\circ) = 1 = \frac{\frac{d_1}{2}}{\frac{d_2}{2}}

\frac{7.5}{x} = 1 \implies x = 7.5

Тогда $d_2 = 2x = 15 \, \text{см}$ .

5. Вычисление стороны ромба

Теперь вычислим сторону ромба:

\text{Сторона ромба} = \sqrt{7.5^2 + 7.5^2} = \sqrt{2 \cdot 7.5^2} = \sqrt{2} \cdot 7.5 \approx 10.61 \, \text{см}

6. Нахождение периметра

Периметр ромба:

P = 4 \cdot \text{Сторона ромба} = 4 \cdot 10.61 \approx 42.44 \, \text{см}

Ответ:

Периметр ромба составляет примерно 42.44 см.