Точки H и T лежат соответственно на сторонах AB и CD. параллелограмма ABCD при чем СT=TD, AH:HB=5:3 выразить вектор HT через векторы c=AB, d=AD

Задача заключается в нахождении вектора $\mathbf{HT}$ в параллелограмме $ABCD$, где даны следующие условия:

• Точки $H$ и $T$ лежат на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно.
• $CT = TD$ (отрезок $CT$ равен отрезку $TD$).
• Отношение деления отрезка $AB$ точкой $H$: $\frac{AH}{HB} = \frac{5}{3}$.

Нам нужно выразить вектор $\mathbf{HT}$ через векторы $\mathbf{c} = \overrightarrow{AB}$ и $\mathbf{d} = \overrightarrow{AD}$.

Шаг 1. Введение векторных обозначений

Пусть $A$, $B$, $C$, и $D$ — вершины параллелограмма, и векторы $\mathbf{c} = \overrightarrow{AB}$ и $\mathbf{d} = \overrightarrow{AD}$ являются его стороной. Обозначим позиции точек $H$ и $T$ через параметры на соответствующих отрезках.

Шаг 2. Параметрическое представление точек $H$ и $T$

1. Точка $H$ на отрезке $AB$ делит его в отношении $\frac{AH}{HB} = \frac{5}{3}$. Значит, точка $H$ делит отрезок $AB$ в пропорции 5:3, и её координаты можно выразить как:

   $$\overrightarrow{H} = A + \lambda \cdot \overrightarrow{AB} = A + \lambda \mathbf{c}$$

   Где $\lambda$ — параметр, который можно найти из пропорции. Для пропорции 5:3 параметр $\lambda$ будет равен:

   $$\lambda = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$$

   Таким образом, точка $H$ векторно представляется как:

   $$\overrightarrow{H} = A + \frac{5}{8} \mathbf{c}$$

2. Точка $T$ на отрезке $CD$ делит его пополам, поскольку $CT = TD$. Точка $T$ векторно выражается как:

   $$\overrightarrow{T} = C + \mu \cdot \overrightarrow{CD} = C + \mu \mathbf{d}$$

   Поскольку $CT = TD$, то $\mu = \frac{1}{2}$. Таким образом, точка $T$ имеет координаты:

   $$\overrightarrow{T} = C + \frac{1}{2} \mathbf{d}$$

Шаг 3. Нахождение вектора $\mathbf{HT}$

Теперь мы можем найти вектор $\mathbf{HT}$ как разность векторов $\overrightarrow{T}$ и $\overrightarrow{H}$:

Подставляем выражения для $\overrightarrow{T}$ и $\overrightarrow{H}$: