Найдите периметр прямоугольника ABCD, если периметр треугольника ABD = 30см и AC = 12см.

Чтобы найти периметр прямоугольника ABCD, нам нужно разобраться с геометрией этого прямоугольника и использовать данные о периметре треугольника ABD и длине диагонали AC.

1. Обозначим стороны прямоугольника.
   Пусть прямоугольник ABCD имеет стороны AB = a и AD = b. Диагональ AC пересекает прямоугольник, образуя два прямоугольных треугольника (например, треугольник ABD).

2. Используем данные о диагонали.
   Из условия задачи известно, что диагональ AC равна 12 см. В прямоугольном треугольнике ABC (или ABD), диагональ является гипотенузой. Поскольку это прямоугольник, то по теореме Пифагора выполняется следующее соотношение:

   $$AC^2 = AB^2 + AD^2.$$

   Подставляем известное значение AC = 12 см:

   $$12^2 = a^2 + b^2,$$ $$144 = a^2 + b^2.$$

   Это уравнение связывает стороны прямоугольника.

3. Используем данные о периметре треугольника ABD.
   Также известно, что периметр треугольника ABD равен 30 см. Периметр треугольника – это сумма его сторон:

   $$AB + AD + BD = 30.$$

   Мы знаем, что AB = a, AD = b, а BD – это длина гипотенузы в треугольнике ABD, которая равна AC (так как в прямоугольном треугольнике с прямым углом на вершине D диагональ является гипотенузой):

   $$BD = AC = 12.$$

   Таким образом, у нас получается следующее уравнение:

   $$a + b + 12 = 30,$$ $$a + b = 18.$$

4. Решаем систему уравнений.
   У нас есть две системы уравнений:

   1. $a^2 + b^2 = 144$,
   2. $a + b = 18$.

   Чтобы решить систему, выразим $b$ через $a$ из второго уравнения:

   $$b = 18 - a.$$

   Подставим это выражение для $b$ в первое уравнение:

   $$a^2 + (18 - a)^2 = 144.$$

   Раскроем скобки:

   $$a^2 + (324 - 36a + a^2) = 144,$$ $$2a^2 - 36a + 324 = 144.$$

   Упростим:

   $$2a^2 - 36a + 180 = 0.$$

   Разделим на 2:

   $$a^2 - 18a + 90 = 0.$$

   Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

   $$a = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90}}{2 \cdot 1}.$$ $$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 360}}{2}.$$ $$a = \frac{18 \pm \sqrt{-36}}{2}.$$

   Корней у этого уравнения нет.