В прямоугольном треугольнике один из катетов равен а, гипотенуза-с. Найдите косинус угла, противолежащего данному катету, если: а=3, с=5

В данном случае мы имеем прямоугольный треугольник с одним катетом длиной $a = 3$ и гипотенузой $c = 5$. Требуется найти косинус угла, противолежащего данному катету. Давайте разберемся, как это сделать шаг за шагом.

1. Определение углов и элементов треугольника: В прямоугольном треугольнике один угол всегда равен 90°, и два других угла составляют 90°. Пусть угол, противолежащий катету $a$, обозначим как $\alpha$.

2. Используем теорему Пифагора: Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

   $$a^2 + b^2 = c^2$$

   где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Мы знаем, что $a = 3$ и $c = 5$, следовательно:

   $$3^2 + b^2 = 5^2$$ $$9 + b^2 = 25$$ $$b^2 = 25 - 9 = 16$$ $$b = 4$$

   То есть второй катет $b$ равен 4.

3. Косинус угла: Косинус угла $\alpha$, противолежащего катету $a$, определяется как отношение прилежащего катета $b$ к гипотенузе $c$:

   $$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$$

   Подставляем значения:

   $$\cos(\alpha) = \frac{4}{5}$$

Таким образом, косинус угла, противолежащего катету $a = 3$, равен $\frac{4}{5}$.