В треугольнике ABC высота AD делит сторону BC на отрезки BD=4√3см и DC=16см. Угол ABC=60°. Найдите AB и AC.

Для того чтобы найти длины сторон AB и AC в данном треугольнике ABC, воспользуемся теоремой о высоте и несколько шагов тригонометрии.

Дано:

• Треугольник ABC.
• Высота AD из вершины A на сторону BC делит её на два отрезка: BD = 4√3 см и DC = 16 см.
• Угол ABC = 60°.

Задача сводится к нахождению длин сторон AB и AC.

Шаг 1: Найдем длину стороны BC

Сначала находим полную длину стороны BC, сложив отрезки BD и DC:

$BC = BD + DC = 4\sqrt{3} + 16 \text{ см}.$

Шаг 2: Используем теорему о высоте

В треугольнике ABC, высота AD делит его на два прямоугольных треугольника: ABD и ACD. Мы можем применить теорему Пифагора для каждого из этих треугольников.

1. Для треугольника ABD:

   Пусть $h = AD$ — высота треугольника.

   Согласно теореме Пифагора для треугольника ABD: $AB^2 = BD^2 + AD^2$ $AB^2 = (4\sqrt{3})^2 + h^2$ $AB^2 = 48 + h^2.$

2. Для треугольника ACD:

   Аналогично для треугольника ACD: $AC^2 = DC^2 + AD^2$ $AC^2 = 16^2 + h^2$ $AC^2 = 256 + h^2.$

Шаг 3: Найдем высоту AD через угол ABC

Затем используем информацию о угле $\angle ABC = 60^\circ$. В прямоугольных треугольниках ABD и ACD мы можем использовать тригонометрические функции.

Для треугольника ABC:

$\sin(60^\circ) = \frac{AD}{AB}.$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AD}{AB},$ отсюда: $AD = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AB.$

Аналогично для треугольника ACD:

$\sin(60^\circ) = \frac{AD}{AC},$

и получаем:

$AD = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AC.$

Шаг 4: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть две системы уравнений для AB и AC через AD. Чтобы решить их, нужно выразить AB и AC через одну переменную и найти их значения.