Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение- трапеция.

Для того чтобы решить эту задачу, давайте подробно разберем, как построить сечение параллелепипеда и доказать, что оно является трапецией.

1. Построение параллелепипеда

Предположим, что параллелепипед ABCDA1B1C1D1 расположен в пространстве. Пусть его вершины — это ABCD (нижняя грань) и A1B1C1D1 (верхняя грань). Ребра параллелепипеда будут соединять соответствующие вершины верхней и нижней граней.

Обозначим:

• A, B, C, D — вершины нижней грани параллелепипеда.
• A1, B1, C1, D1 — вершины верхней грани, расположенной прямо над соответствующими вершинами нижней.

Предположим, что параллелепипед ориентирован в пространстве так, что его стороны параллельны осям координат (или в каком-то другом удобном виде), что позволит легко вычислять координаты точек и работать с ними.

2. Сечение через три точки

Сечение будем строить плоскостью, которая проходит через следующие три точки:

• B1 — точка на верхней грани.
• D1 — точка на верхней грани.
• Середина ребра CD — точка, расположенная на середине ребра нижней грани.

Для того чтобы найти середину ребра CD, предположим, что координаты точек C и D известны. Если, например, $C = (x_2, y_2, z_2)$ и $D = (x_3, y_3, z_3)$, то координаты середины $M$ этого ребра будут вычисляться как:

Эта точка $M$ будет находиться в середине ребра CD.

3. Определение сечения плоскостью

Теперь, зная три точки — B1, D1 и M, можно построить плоскость. Эта плоскость будет пересекать параллелепипед, и в результате пересечения мы получим сечение. Для того чтобы убедиться, что это сечение является трапецией, нам нужно доказать, что противоположные стороны сечения — не параллельны.

4. Доказательство, что сечение — трапеция

• Стороны сечения: Мы рассмотрим четыре стороны сечения: от B1 до D1, от D1 до M, от M до B1, а также дополнительную сторону, которая соединяет M с какой-то другой вершиной параллелепипеда.

• Параллельность сторон: Чтобы сечение было трапецией, нам нужно доказать, что две стороны сечения параллельны, а две другие — нет.

  • Сторона, соединяющая B1 и D1, будет горизонтальной, так как обе точки лежат на верхней грани параллелепипеда (в идеализированном случае).

  • Сторона, соединяющая M с B1 или M с D1, будет наклонной, потому что точка M лежит на нижней грани параллелепипеда, а точки B1 и D1 находятся на верхней.

  • Стороны, соединяющие M с B1 и с D1, имеют разные наклоны, что означает, что они не параллельны. Однако стороны, соединяющие B1 и D1, и одну из наклонных сторон будут параллельны, поскольку они лежат на плоскости, которая является сечением.

Таким образом, сечение будет трапецией, поскольку одна пара противоположных сторон будет параллельна, а другая пара — нет.

Заключение

Мы построили сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Сечение является трапецией, поскольку одна пара противоположных сторон сечения параллельна, а другая — нет.