Отрезки АD и BC пересекаются в их общей середине точке М. Докажите, что прямые АС и ВD параллельны.
пожалуйста

Чтобы доказать, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны, воспользуемся свойствами середин и геометрическими соображениями.

Дано:

1. Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$, которая является их общей серединой.
2. Точка $M$ делит отрезки $AD$ и $BC$ пополам, то есть: $$AM = MD \quad \text{и} \quad BM = MC.$$

Требуется доказать:

Прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Доказательство:

1. Координатное представление (метод векторов):

Рассмотрим точки $A$, $B$, $C$, и $D$ в координатной плоскости. Пусть:

• Координаты точки $A$ — $(x_1, y_1)$,
• Координаты точки $B$ — $(x_2, y_2)$,
• Координаты точки $C$ — $(x_3, y_3)$,
• Координаты точки $D$ — $(x_4, y_4)$.

Так как точка $M$ является серединой отрезков $AD$ и $BC$, её координаты можно выразить как:

и

Поскольку $M$ является общей серединой, уравнения для её координат равны:

Умножив обе части на 2, получим:

2. Направляющие векторы:

Теперь рассмотрим направляющие векторы прямых $AC$ и $BD$:

• Направляющий вектор прямой $AC$ — $\vec{AC} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1)$,
• Направляющий вектор прямой $BD$ — $\vec{BD} = (x_4 - x_2, y_4 - y_2)$.

Для проверки параллельности прямых $AC$ и $BD$ необходимо проверить пропорциональность их направляющих векторов, то есть: