Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 25 и 16. Найдите площадь трапеции

Для решения задачи используем свойства трапеции и соотношения площадей треугольников.

Шаг 1: Свойства трапеции и точка пересечения диагоналей

Трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, и при этом разбивают трапецию на четыре треугольника.

Диагонали трапеции обладают важным свойством: отношение площадей треугольников с общим основанием, находящихся на одной стороне от точки пересечения диагоналей, равно отношению оснований трапеции.

Обозначим:

• $S_{AOD} = 25$ — площадь треугольника $AOD$,
• $S_{BOC} = 16$ — площадь треугольника $BOC$,
• $S_{AOB}$ и $S_{COD}$ — площади оставшихся треугольников.

Шаг 2: Выразим соотношения площадей

Так как диагонали делят трапецию на четыре треугольника, отношение площадей $AOD$ и $BOC$ равно отношению оснований $AD$ и $BC$ трапеции:

Подставим известные значения:

Обозначим $AD = a$ (большее основание трапеции), $BC = b$ (меньшее основание трапеции), тогда $\frac{a}{b} = \frac{25}{16}$.

Шаг 3: Найдем площади оставшихся треугольников

Из свойств диагоналей трапеции следует, что отношение площадей треугольников, расположенных по разные стороны от точки пересечения диагоналей, равно отношению произведений оснований трапеции на высоту. Таким образом:

Обозначим площади треугольников $S_{AOB} = x$ и $S_{COD} = y$. Тогда:

Также известно, что сумма площадей всех четырех треугольников равна площади всей трапеции:

Подставим известные значения и выражения через $x$ и $y$:

Шаг 4: Выразим $x$ и $y$ через общий множитель

Пусть $x = 25k$ и $y = 16k$, где $k$ — общий коэффициент, выражающий пропорцию. Тогда:

И полная площадь трапеции становится:

Шаг 5: Используем свойства диагоналей

Так как площади $AOD$ и $BOC$ относятся как $25 : 16$, и диагонали пересекаются, деля высоту трапеции в том же отношении, площади треугольников $AOB$ и $COD$ тоже будут пропорциональны $25 : 16$. Из этого следует, что $k = 1$, так как суммарное отношение сторон уже учтено.

Подставим $k = 1$:

Ответ:

Площадь трапеции равна 82.