В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна З√2 см, угол К равен 45°,а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, начнем с анализа условий задачи и поэтапного решения.

Дано:

1. Трапеция $ABCD$ (пусть $AB$ — верхнее основание, $CD$ — нижнее основание, $BC$ и $AD$ — боковые стороны).
2. Боковая сторона $AD = 3\sqrt{2}$ см.
3. Угол $\angle D = 45^\circ$.
4. Высота $CH$ делит основание $CD$ пополам, то есть точка $H$ — середина $CD$.

Необходимо найти площадь трапеции.

Решение:

1. Построим высоту $CH$: Высота делит нижнее основание $CD$ на две равные части. Пусть $CD = 2a$, тогда $DH = HC = a$.

2. Используем свойства угла $\angle D = 45^\circ$: Из треугольника $ADH$:

   $$\tan(45^\circ) = \frac{DH}{CH}.$$

   Так как $\tan(45^\circ) = 1$, то $DH = CH$. Следовательно:

   $$CH = a.$$

3. Найдем боковую сторону $AD$: По условию, $AD = 3\sqrt{2}$. Это гипотенуза прямоугольного треугольника $ADH$, где $DH = CH = a$. Используем теорему Пифагора:

   $$AD^2 = DH^2 + CH^2.$$

   Подставим значения:

   $$(3\sqrt{2})^2 = a^2 + a^2.$$ $$18 = 2a^2.$$ $$a^2 = 9, \quad a = 3.$$

   Значит, $CH = DH = 3$.

4. Определим длины оснований $AB$ и $CD$:

   • $CD = 2a = 6$.
   • Так как высота $CH$ делит трапецию симметрично и угол при вершине $D$ составляет $45^\circ$, то верхнее основание $AB$ будет на $2 \times DH$ короче, чем $CD$: $$AB = CD - 2DH = 6 - 2 \cdot 3 = 0.$$

**