в треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, радиус вписанный окружности равен 2. найдите площадь

Ответы на вопрос

Отвечает Соболева Мария.

В треугольнике ABC угол С равен 90 градусов, то есть это прямоугольный треугольник. Радиус вписанной окружности данного треугольника равен 2, а длина гипотенузы AB равна 12. Необходимо найти площадь треугольника.

Шаг 1: Формула для площади треугольника

Площадь треугольника можно выразить через его полупериметр и радиус вписанной окружности по формуле:

S = r \cdot p

где $S$ — площадь треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности, $p$ — полупериметр треугольника.

Шаг 2: Полупериметр треугольника

Полупериметр треугольника рассчитывается по формуле:

p = \frac{a + b + c}{2}

где $a$ , $b$ , и $c$ — длины сторон треугольника. В нашем случае $c = AB = 12$ — это гипотенуза, а $a$ и $b$ — катеты, которые нам нужно найти.

Шаг 3: Связь радиуса вписанной окружности и катетов

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности можно выразить через его катеты $a$ и $b$ и гипотенузу $c$ по формуле:

r = \frac{a + b - c}{2}

Зная, что радиус $r = 2$ и гипотенуза $c = 12$ , подставляем в формулу:

2 = \frac{a + b - 12}{2}

Умножаем обе части уравнения на 2:

4 = a + b - 12

a + b = 16

Шаг 4: Применение теоремы Пифагора

Так как треугольник прямоугольный, то его стороны удовлетворяют теореме Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2

Подставим значение $c = 12$ :

a^2 + b^2 = 12^2 = 144

Шаг 5: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система уравнений:

$a + b = 16$
$a^2 + b^2 = 144$

Для решения этой системы воспользуемся следующим методом. Из первого уравнения выразим $b$ через $a$ :

b = 16 - a

Подставим это в второе уравнение:

a^2 + (16 - a)^2 = 144

Раскроем скобки:

a^2 + (256 - 32a + a^2) = 144

Соберем все слагаемые:

2a^2 - 32a + 256 = 144

Упростим уравнение:

2a^2 - 32a + 112 = 0

Разделим на 2:

a^2 - 16a + 56 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 256 - 224 = 32

Корни уравнения:

a = \frac{-(-16) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{16 \pm 4\sqrt{2}}{2}

a = 8 \pm 2\sqrt{2}

Таким образом, катеты $a$ и $b$ имеют значения $a = 8 + 2\sqrt{2}$ и $b = 8 - 2\sqrt{2}$ .

Шаг 6: Площадь треугольника

Теперь, зная катеты, можно вычислить площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

Подставим найденные значения катетов:

S = \frac{1}{2} \cdot (8 + 2\sqrt{2}) \cdot (8 - 2\sqrt{2})

Воспользуемся формулой разности квадратов:

(8 + 2 \sqrt{2}) (8 - 2 \sqrt{2}) = 8^{2} - (2 \sqrt{2})^{2} = 64 - 8 = 56

в треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, радиус вписанный окружности равен 2. найдите площадь треугольника АВС,если АВ=12.