В прямоугольнике диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сторон равен 60°, длина той стороны равна 5. Найдите площадь прямоугольника

Чтобы найти площадь прямоугольника, начнем с анализа условий задачи и применим тригонометрию.

1. Дано:

   • Диагональ прямоугольника $d = 10$;
   • Угол между диагональю и одной из сторон $\alpha = 60^\circ$;
   • Длина стороны, смежной с углом $\alpha$, равна $a = 5$.

2. Обозначим стороны прямоугольника:

   • $a$ — сторона, длина которой известна ($a = 5$);
   • $b$ — вторая сторона прямоугольника;
   • $d$ — диагональ, которая равна $10$.

3. Связь сторон и диагонали в прямоугольнике: Прямоугольник образует прямоугольный треугольник с гипотенузой $d$ и катетами $a$ и $b$. По теореме Пифагора:

   $$d^2 = a^2 + b^2.$$

   Подставим $d = 10$:

   $$10^2 = 5^2 + b^2,$$ $$100 = 25 + b^2,$$ $$b^2 = 75,$$ $$b = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}.$$

4. Угол $\alpha = 60^\circ$: Угол между диагональю $d$ и стороной $a$ позволяет нам проверить данные. Из тригонометрии:

   $$\cos\alpha = \frac{a}{d}.$$

   Подставим значения:

   $$\cos 60^\circ = \frac{5}{10}.$$

   Условие выполнено, так как $\cos 60^\circ = 0.5$.

5. Площадь прямоугольника: Площадь прямоугольника вычисляется как:

   $$S = a \cdot b.$$

   Подставим найденные значения $a = 5$ и $b = 5\sqrt{3}$:

   $$S = 5 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}.$$

Ответ: площадь прямоугольника равна $25\sqrt{3}$ квадратных единиц.