Медианы AM и BN треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке P.
докажите, что CP=AB

Давайте докажем, что $CP = AB$, если медианы $AM$ и $BN$ треугольника $ABC$ перпендикулярны и пересекаются в точке $P$.

Доказательство:

1. Определение медиан:
   Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Пусть точки $M$, $N$ и $K$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Тогда:

   $$AM, BN \text{ и } CK \text{ — медианы треугольника.}$$

2. Свойства медиан:
   Медианы треугольника пересекаются в одной точке $P$, которая называется центроидом (центром тяжести). Центроид делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.

   Значит:

   $$AP : PM = 2 : 1, \quad BP : PN = 2 : 1, \quad CP : PK = 2 : 1.$$

3. Перпендикулярность медиан:
   По условию, медианы $AM$ и $BN$ перпендикулярны. Это ключевой факт, который поможет нам доказать равенство $CP = AB$.

4. Система координат:
   Для удобства введем декартову систему координат. Пусть:

   • $A(0, 0)$,
   • $B(2b, 0)$,
   • $C(2c, 2h)$.

   Тогда:

   • Середина $BC$: $M(c+b, h)$,
   • Середина $AC$: $N(c, h)$.

5. Уравнения медиан:

   • Уравнение медианы $AM$ (соединяет $A(0, 0)$ и $M(c+b, h)$): $$y = \frac{h}{c+b}x.$$
   • Уравнение медианы $BN$ (соединяет $B(2b, 0)$ и $N(c, h)$): $$y - h = -\frac{h}{c-b}(x - c).$$

6. Точка пересечения медиан (центроид $P$):
   Центроид делит каждую медиану в отношении $2:1$, значит, его координаты:

   $$P = \left( \frac{2b + 2c}{3}, \frac{2h}{3} \right).$$

7. Длина медианы $CP$:
   Найдем длину отрезка $CP$, соединяющего точку $C(2c, 2h)$ с точкой $P \left( \frac{2b+2c}{3}, \frac{2h}{3} \right)$:

   $$CP = \sqrt{\left( 2c - \frac{2b+2c}{3} \right)^2 + \left( 2h - \frac{2h}{3} \right)^2}.$$

   Упростим:

   $$CP = \sqrt{\left( \frac{6c - 2b - 2c}{3} \right)^2 + \left( \frac{6h - 2h}{3} \right)^2}.$$ $$CP = \sqrt{\left( \frac{4c - 2b}{3} \right)^2 + \left( \frac{4h}{3} \right)^2}.$$ $$CP = \frac{1}{3} \sqrt{(4c - 2b)^2 + (4h)^2}.$$

8. Длина стороны $AB$:
   Найдем длину стороны $AB$, соединяющей $A(0, 0)$ и $B(2b, 0)$:

   $$AB = \sqrt{(2b - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 2b.$$