В прямоугольном треугольнике проведены три средние линии найдите стороны и площадь этого

Ответы на вопрос

Отвечает Жуков Илья.

Чтобы решить задачу, рассмотрим её подробно.

Условие задачи

В прямоугольном треугольнике проведены три средние линии.
Периметр треугольника, образованного средними линиями, равен $30 \, \text{см}$ .
Синус одного из острых углов треугольника равен $\frac{5}{13}$ .

Нужно найти:

Стороны прямоугольного треугольника.
Его площадь.

1. Свойства средней линии

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон и равна половине длины третьей стороны. Если обозначить стороны прямоугольного треугольника через $a$ , $b$ (катеты), а гипотенузу через $c$ , то:

Средняя линия, параллельная $a$ , равна $\frac{a}{2}$ .
Средняя линия, параллельная $b$ , равна $\frac{b}{2}$ .
Средняя линия, параллельная $c$ , равна $\frac{c}{2}$ .

Периметр треугольника, образованного средними линиями, равен:

\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = 30.

Сократим и умножим на 2:

a + b + c = 60.

2. Синус угла

Синус острого угла равен $\frac{5}{13}$ . По теореме Пифагора, если $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ , то косинус угла:

\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{169}{169} - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}.

Катеты $a$ и $b$ находятся в отношении синуса и косинуса:

a : b = \sin \alpha : \cos \alpha = 5 : 12.

Обозначим $a = 5k$ , $b = 12k$ , где $k > 0$ .

3. Гипотенуза и сумма сторон

По теореме Пифагора:

c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(5k)^2 + (12k)^2} = \sqrt{25k^2 + 144k^2} = \sqrt{169k^2} = 13k.

Сумма сторон треугольника:

a + b + c = 5k + 12k + 13k = 30k.

По условию задачи:

a + b + c = 60.

Отсюда:

30k = 60 \implies k = 2.

4. Найдём стороны треугольника

Подставим $k = 2$ в выражения для сторон:

a = 5k = 5 \cdot 2 = 10 \, \text{см},

b = 12k = 12 \cdot 2 = 24 \, \text{см},

c = 13k = 13 \cdot 2 = 26 \, \text{см}.

5. Площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна:

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \, \text{см}^2.