В прямоугольной трапеции меньшее основание основание в два раза меньше боковой стороны, один из углов равен 135 градусов, а средняя линия 14 см.Найдите периметр

Рассмотрим решение задачи.

Условие:

1. Меньшее основание трапеции в два раза меньше боковой стороны.
2. Один из углов трапеции равен $135^\circ$.
3. Средняя линия трапеции равна $14$ см.
4. Найти периметр.

Обозначим:

• $ABCD$ — трапеция, где $AB$ и $CD$ — основания ($AB < CD$), а $AD$ и $BC$ — боковые стороны.
• Пусть $AB = a$, $CD = b$, $AD = BC = c$.
• Средняя линия трапеции ($m$) выражается как $m = \frac{a + b}{2}.$ По условию, $m = 14$, значит: $$\frac{a + b}{2} = 14 \implies a + b = 28.$$

Также сказано, что меньшее основание $a$ в два раза меньше боковой стороны $c$. Поэтому:

Известно, что угол $D = 135^\circ$, а трапеция имеет два основания параллельных ($AB \parallel CD$). Таким образом, угол $A = 45^\circ$ (смежный угол с $D$ на одной боковой стороне $AD$).

Найдем длины сторон:

1. Выразим боковую сторону $c$:

Из геометрии следует, что в трапеции с углом $135^\circ$ можно применить свойства прямоугольного треугольника. Пусть высота $h$ опущена из вершины $A$ на основание $CD$. Тогда:

Горизонтальная проекция боковой стороны на основание будет:

Длина большего основания $b$ выражается как:

Подставим $a = \frac{c}{2}$:

2. Используем уравнение $a + b = 28$:

Упростим:

Вынесем $c$ за скобки:

Найдём $c$:

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое $1 - \sqrt{2}$: