Отрезок PQ параллелен стороне KN треугольника MKN, площадь треугольника PMQ равна площади трапеции KPQN (рис. 35). Найдите отношение KM \KP .

Рассмотрим задачу с геометрическим объектом, где отрезок $PQ$ параллелен стороне $KN$ треугольника $MKN$, и известны равные площади треугольника $\triangle PMQ$ и трапеции $KPQN$. Требуется найти отношение $\frac{KM}{KP}$.

Разберем задачу шаг за шагом

1. Условие параллельности и равенства площадей:

   • Так как $PQ \parallel KN$, трапеция $KPQN$ имеет две параллельные стороны: $PQ$ и $KN$.
   • Площадь $\triangle PMQ =$ площадь трапеции $KPQN$. Это ключевое условие.

2. Свойства параллельных линий:

   • Если $PQ \parallel KN$, то отрезки между ними пропорциональны. Это значит, что: $$\frac{PM}{PK} = \frac{MQ}{KN}.$$

3. Площадь треугольника и трапеции:

   • Площадь треугольника $PMQ$ можно выразить как: $$S_{\triangle PMQ} = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot h,$$ где $h$ — высота, опущенная из точки $M$ на прямую $PQ$.
   • Площадь трапеции $KPQN$: $$S_{\text{трапеции}} = \frac{1}{2} \cdot (PQ + KN) \cdot h.$$ Здесь $h$ — та же самая высота, так как параллельные стороны $PQ$ и $KN$ лежат на одной высоте.

4. Условие равенства площадей: Из условия задачи:

   $$S_{\triangle PMQ} = S_{\text{трапеции}}.$$

   Подставим формулы:

   $$\frac{1}{2} \cdot PQ \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (PQ + KN) \cdot h.$$

   Сокращаем $\frac{1}{2} \cdot h$:

   $$PQ = PQ + KN.$$

   Упростим уравнение:

   $$KN = PQ.$$

   Таким образом, длина $PQ$ равна длине $KN$.

5. Рассмотрение отношения сторон:

   • Так как $KN = PQ$ и $PQ$ делит треугольник $MKN$ на две части, следует, что отношение высот треугольника $\triangle PMQ$ и трапеции $KPQN$ определяет пропорции их оснований.

6. Отношение $\frac{KM}{KP}$: Заметим, что $KM$ и $KP$ связаны через равенство площадей. Площадь $\triangle PMQ$ занимает половину площади всего треугольника $MKN$, так как $\triangle PMQ$ и трапеция $KPQN$ равновелики и вместе составляют весь треугольник $MKN$.

   Поэтому:

   $$\frac{KM}{KP} = 2.$$

Ответ:

Отношение $\frac{KM}{KP}$ равно $\boxed{2}$.