Медиана прямоугольного треугольника,проведенная к гипотенузе равна 25,а разность катетов -10. Определите больший катет

Для решения задачи используем свойства медианы, проведённой к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, и базовые геометрические формулы.

Дано:

1. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна $25$.
2. Разность катетов равна $10$.
3. Требуется найти больший катет.

Шаг 1: Свойство медианы

Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Поэтому гипотенуза $c$ равна:

Шаг 2: Выражение катетов

Обозначим катеты как $a$ (меньший) и $b$ (больший). По условию их разность равна $10$:

Также из теоремы Пифагора:

Подставляем $c = 50$:

Шаг 3: Выразим $b$ через $a$

Из уравнения $(1)$:

Подставим $b = a + 10$ в уравнение $(3)$:

Раскроем скобки:

Сложим подобные члены:

Приведём к стандартному виду:

Упростим, разделив на 2:

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Используем формулу корней квадратного уравнения:

Для уравнения $(5)$: $A = 1$, $B = 10$, $C = -1200$. Подставим значения:

Посчитаем дискриминант:

Найдём корень дискриминанта:

Теперь вычислим корни:

Получаем два значения:

Отрицательный корень ($a_2 = -40$) не подходит, так как длина катета не может быть отрицательной. Следовательно:

Шаг 5: Найдём больший катет

Из уравнения $(4)$:

Ответ:

Больший катет равен $40$.