Высота равнобедренной трапеции равна h, а угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен a. Найти площадь трапеции

Для нахождения площади равнобедренной трапеции, если известна её высота $h$ и угол $\alpha$ между диагоналями, противолежащий боковой стороне, необходимо рассмотреть геометрические свойства трапеции и использовать тригонометрические соотношения.

Дано:

• Высота трапеции: $h$;
• Угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне: $\alpha$.

Ищем площадь трапеции $S$.

Основные шаги решения:

1. Обозначим стороны трапеции: Пусть:

   • $AB$ и $CD$ — основания трапеции ($AB > CD$);
   • $AD = BC$ — боковые стороны (равны, так как трапеция равнобедренная).

2. Выразим площадь через высоту: Площадь трапеции находится по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} (AB + CD) \cdot h,$$

   где $AB + CD$ — сумма оснований, а $h$ — высота.

3. Введём диагонали и свойства угла $\alpha$: Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Угол между диагоналями $\angle AOD = \alpha$.

4. Выразим основания через угол и высоту: Рассмотрим треугольник $AOD$:

   • В треугольнике $AOD$ высота $h$ делит диагонали пополам, поскольку трапеция равнобедренная. Пусть половина одной диагонали равна $d_1$, а половина другой диагонали равна $d_2$.
   • Тогда длина проекции диагонали $AC$ на основание $AB$ выражается как $2d_1 \cos \frac{\alpha}{2}$, а проекция диагонали $BD$ на основание $CD$ равна $2d_2 \cos \frac{\alpha}{2}$.

   Основания трапеции находятся следующим образом:

   $$AB = 2d_1 \cos \frac{\alpha}{2} + 2d_2 \cos \frac{\alpha}{2},$$ $$CD = 2d_1 \cos \frac{\alpha}{2} - 2d_2 \cos \frac{\alpha}{2}.$$

5. Подставим основания в формулу площади: Выражаем сумму оснований:

   $$AB + CD = 4d_1 \cos \frac{\alpha}{2}.$$

   Теперь площадь трапеции:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot (4d_1 \cos \frac{\alpha}{2}) \cdot h.$$

6. Упростим итоговую формулу: Учитывая, что $d_1 = \frac{h}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}$, подставляем это значение:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{h}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} \cdot \cos \frac{\alpha}{2} \cdot h.$$

   Упростим выражение:

   $$S = \frac{2h^2 \cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}.$$

7. Итоговый результат: Используя основное тригонометрическое тождество $\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}$, выражаем:

   $$S = 2h^2 \cdot \cot \frac{\alpha}{2}.$$

Ответ:

Площадь равнобедренной трапеции выражается формулой:

где $h$ — высота трапеции, а