В треугольнике ABC проведена высота AD,угол CAD=45градусов,угол B=30 градусов, AC=6.Найти площадь ABC.

Для нахождения площади треугольника $ABC$ с использованием высоты $AD$, давайте разберемся поэтапно.

1. Даны параметры:

   • $\angle CAD = 45^\circ$
   • $\angle ABC = 30^\circ$
   • $AC = 6$

2. Находим угол $\angle A$: В треугольнике сумма углов всегда равна $180^\circ$, значит, угол $\angle A$ можно найти, используя:

   $$\angle A = 180^\circ - \angle ABC - \angle CAD = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ.$$

3. Используем синус для нахождения высоты: Так как $AD$ — это высота треугольника, то она перпендикулярна стороне $BC$. Чтобы найти площадь треугольника, можно использовать формулу:

   $$S = \frac{1}{2} \times AC \times h,$$

   где $h$ — высота $AD$. Для нахождения высоты можно использовать тригонометрические функции. Рассмотрим треугольник $ACD$, в котором угол $\angle CAD = 45^\circ$, а гипотенуза $AC = 6$.

   Площадь треугольника $ACD$ можно выразить через синус угла $\angle CAD$:

   $$h = AC \times \sin(\angle CAD) = 6 \times \sin(45^\circ) = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}.$$

4. Площадь треугольника: Теперь, зная высоту $h = 3\sqrt{2}$, можем вычислить площадь треугольника $ABC$. Формула для площади:

   $$S = \frac{1}{2} \times AC \times h = \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}.$$

Ответ: Площадь треугольника $ABC$ равна $9\sqrt{2}$.