Даны окружность с центром O радиуса 4,5 см и точка A. Через точку A проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если OA=9 см

Для решения задачи нужно использовать геометрические свойства окружности и касательных к ней. Разберём шаг за шагом.

1. Суть задачи: У нас есть окружность с центром в точке O и радиусом 4,5 см. Точка A расположена на расстоянии 9 см от центра окружности. Через точку A проведены две касательные к окружности, и нужно найти угол между этими касательными.

2. Геометрия окружности и касательных:

   • Касательные к окружности имеют свойство, что они перпендикулярны радиусу, проведённому в точку касания. То есть если через точку A проведены две касательные, то они будут перпендикулярны радиусам, которые опускаются на точки касания.
   • Пусть касательные касаются окружности в точках B и C. Тогда отрезки OB и OC являются радиусами окружности, а отрезки AB и AC — касательными, и они равны между собой (по свойству касательных из одной точки).

3. Рассмотрим треугольник OAC:

   • В треугольнике OAC известно, что OB и OC — радиусы окружности, следовательно, они равны и составляют угол 2α, который ищем в задаче.
   • Важно, что угол между касательными из точки A будет дважды больше угла между радиусами, проведёнными к точкам касания.

4. Используем теорему о касательных и расстоянии от точки до центра окружности:

   • Мы знаем, что расстояние от точки A до центра O — 9 см, а радиус окружности равен 4,5 см.
   • Через точку A проведены касательные, и для нахождения угла между ними можем воспользоваться теоремой о касательных: угол между касательными можно выразить через угол в центре, который образуют радиусы окружности, соединяющие точку O с точками касания.

5. Используем косинус угла: Для нахождения угла между касательными используем следующее соотношение:

   $$\cos \alpha = \frac{OA^2 - OB^2 - OC^2}{2 \cdot OB \cdot OC}$$

   В нашем случае $OA = 9$ см, $OB = OC = 4,5$ см. Подставляем значения в формулу:

   $$\cos \alpha = \frac{9^2 - 4,5^2 - 4,5^2}{2 \cdot 4,5 \cdot 4,5} = \frac{81 - 20,25 - 20,25}{2 \cdot 20,25} = \frac{40,5}{40,5} = 1$$

   Это означает, что угол $\alpha = 0^\circ$, и угол между касательными в два раза больше, то есть $2 \alpha = 90^\circ$.

Итак, угол между касательными из точки A к окружности составляет 90 градусов.