Высота правильного треугольника равна 24 см.Найдите площадь круга вписанного в треугольник. все подробно

Для решения этой задачи нам нужно найти площадь круга, вписанного в правильный треугольник. Разберемся, как это сделать шаг за шагом.

Шаг 1: Извлечение данных

• Высота правильного треугольника $h = 24 \, \text{см}$.

Нам нужно найти площадь круга, вписанного в этот треугольник.

Шаг 2: Связь высоты с стороной правильного треугольника

В правильном треугольнике высота делит его на два равных прямоугольных треугольника. Если обозначить сторону правильного треугольника как $a$, то высота $h$ будет являться медианой, которая делит сторону пополам и перпендикулярна ей.

Для правильного треугольника можно воспользоваться формулой для высоты через сторону:

Подставим известное значение высоты:

Решим это уравнение относительно $a$:

Таким образом, сторона правильного треугольника $a = 16 \sqrt{3} \, \text{см}$.

Шаг 3: Радиус вписанного круга

Теперь мы можем найти радиус вписанного круга. Для правильного треугольника радиус вписанного круга $r$ можно найти по формуле:

Подставим значение стороны $a = 16 \sqrt{3}$:

Таким образом, радиус вписанного круга $r = 8 \, \text{см}$.

Шаг 4: Площадь круга

Теперь, зная радиус круга, можем найти его площадь по формуле для площади круга:

Подставим радиус $r = 8$:

Ответ:

Площадь круга, вписанного в правильный треугольник, равна $64\pi \, \text{см}^2$, что приблизительно равно $201,06 \, \text{см}^2$.