Катет АС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости α, а угол между плоскостями α и ABC равен 60°. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АС = 5 см, АВ = 13 см.

Задача состоит в нахождении расстояния от точки В до плоскости α, если известны некоторые параметры прямоугольного треугольника и угол между плоскостью α и плоскостью треугольника ABC.

Шаг 1. Разберемся с треугольником ABC

В данном случае у нас прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке C. Из условия известно, что:

• Катет AC = 5 см,
• Гипотенуза AB = 13 см.

Для нахождения длины второго катета BC можно воспользоваться теоремой Пифагора:

Подставляем известные значения:

Теперь у нас есть все стороны треугольника ABC: AC = 5 см, BC = 12 см и AB = 13 см.

Шаг 2. Важные геометрические понятия

Точка B находится в пространстве, а плоскость α — это плоскость, в которой лежит катет AC. Угол между плоскостью α и плоскостью треугольника ABC равен 60°. Нас просят найти расстояние от точки B до плоскости α.

Для этого важно понять, что расстояние от точки до плоскости определяется перпендикуляром, проведенным из этой точки на плоскость.

Шаг 3. Используем формулу для расстояния от точки до плоскости

Рассмотрим, что угол между плоскостью α и плоскостью ABC равен 60°. Это значит, что угол между нормальными векторами этих плоскостей тоже составляет 60°.

Площадь треугольника ABC, если его нормальный вектор направлен вверх (перпендикуляр к плоскости треугольника), можно выразить через его стороны. Но проще воспользоваться геометрической интерпретацией угла между плоскостями.

Зная угол между плоскостями (60°), мы можем выразить расстояние от точки B до плоскости α через катет BC и угол между нормалями этих плоскостей. Формула для расстояния будет следующей:

Подставляем значения:

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

Таким образом, расстояние от точки B до плоскости α равно $6\sqrt{3}$ см, что примерно равно 10,39 см.

Ответ: расстояние от точки B до плоскости α составляет $6\sqrt{3}$ см или примерно 10,39 см.