Плоскость альфа пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и Н соответсвенно и паралельна стороне АС.Найдите сторону АС треугольника, если АС-МН=8 см, ВМ:МА=2:1.

Задача на нахождение длины стороны треугольника, при этом использована теорема о подобии треугольников и отношения отрезков.

Рассмотрим треугольник $ABC$, плоскость $\alpha$, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, и эта плоскость параллельна стороне $AC$. По условию, нам нужно найти длину стороны $AC$.

Итак, давайте разберем решение пошагово:

1. Подобие треугольников

Плоскость $\alpha$ параллельна стороне $AC$, значит, треугольники $AMN$ и $ABC$ подобны (по признаку подобия треугольников по трем углам, так как углы при вершинах $A$ и $C$ равны, а угол $B$ общий).

2. Отношения сторон

Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон треугольников $AMN$ и $ABC$ равны. В частности:

Поскольку $MN$ параллельно стороне $AC$, это отношение справедливо.

3. Использование отношения отрезков на стороне $AB$

Дано, что $BM:MA = 2:1$. Это означает, что отрезок $AB$ делится точкой $M$ в отношении 2:1, то есть:

Пусть длина отрезка $MA = x$, тогда $BM = 2x$, и соответственно:

4. Длина отрезка $MN$

Дано, что $AC - MN = 8$ см, то есть:

5. Применение теоремы о подобии

Теперь, используя пропорцию из подобия треугольников, мы можем записать следующее соотношение:

Подставим все известные значения:

Сократим $x$ в первой дроби:

Теперь решим это уравнение относительно $AC$:

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

Раскроем скобки:

Переносим все элементы с $AC$ в одну сторону:

Упростим:

Делим обе части на 2:

Ответ:

Длина стороны $AC$ треугольника составляет 12 см.