Площадь прямоугольного треугольника равна 128√3. Один из острых углов равен 30∘. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Чтобы решить задачу, давайте пошагово разберёмся с её условиями.

Дано:

• Площадь прямоугольного треугольника: $S = 128\sqrt{3}$.
• Один из острых углов прямоугольного треугольника: $\alpha = 30^\circ$.

Нужно найти длину катета, который лежит напротив этого угла.

Шаг 1: Формула для площади прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты $a$ и $b$ по формуле:

Где $a$ и $b$ — катеты треугольника. Мы знаем, что площадь треугольника равна $128\sqrt{3}$, значит:

Отсюда:

Шаг 2: Использование угла в 30°

Поскольку один из острых углов треугольника равен $30^\circ$, можно применить тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника.

Обозначим катеты как $a$ и $b$, где $a$ — катет, противоположный углу $30^\circ$, а $b$ — катет, прилежащий к этому углу.

• Для катета $a$ (напротив угла $30^\circ$):

где $c$ — гипотенуза треугольника. Из этого выражения получаем:

• Для катета $b$ (прилежащего к углу $30^\circ$):

что даёт:

Шаг 3: Подставляем значения в уравнение для площади

Теперь, когда у нас есть выражения для $a$ и $b$ через гипотенузу $c$, подставим их в уравнение для площади:

Подставляем $a = \frac{c}{2}$ и $b = \frac{c\sqrt{3}}{2}$:

Упростим:

Теперь убираем $\sqrt{3}$ с обеих сторон:

Умножаем обе стороны на 4:

Отсюда:

Шаг 4: Находим длину катета $a$

Теперь, зная гипотенузу $c = 32$, можем найти катет $a$, который находится напротив угла $30^\circ$. Используем выражение $a = \frac{c}{2}$:

Ответ:

Длина катета, лежащего напротив угла $30^\circ$, равна 16.