Площадь прямоугольного треугольника равна 392 корень из 3/3. Один из острых углов равен 60 гр. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла?

Помогите пожалуйста!

Для решения задачи нам нужно использовать формулу площади треугольника и свойства прямоугольного треугольника с углом $60^\circ$.

Дано:

• Площадь треугольника: $S = \frac{392 \sqrt{3}}{3}$.
• Один из острых углов равен $60^\circ$.
• Найти длину катета, лежащего напротив угла $60^\circ$.

Шаги решения:

1. Формула площади треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как:

где $a$ и $b$ — катеты треугольника.

2. Связь сторон в прямоугольном треугольнике с углом $60^\circ$:

Для прямоугольного треугольника, где один из углов $60^\circ$, другой острый угол равен $30^\circ$. В таком треугольнике:

• Катет напротив угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы.
• Катет напротив угла $60^\circ$ равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ от гипотенузы.

Обозначим:

• $a$ — катет напротив угла $60^\circ$ (его нужно найти),
• $b$ — катет напротив угла $30^\circ$,
• $c$ — гипотенузу.

Тогда:

3. Выразим площадь через гипотенузу:

Подставляем $a = \frac{\sqrt{3}}{2}c$ и $b = \frac{1}{2}c$ в формулу площади:

Упростим:

4. Подставим значение площади:

По условию, $S = \frac{392 \sqrt{3}}{3}$. Подставляем в уравнение:

5. Решим уравнение для $c^2$:

Сокращаем $\sqrt{3}$ и умножаем на 8:

Упростим:

Возьмем квадратный корень: