Площадь прямоугольного треугольника равна (5000 корень из 3)/3 Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Задача состоит в том, чтобы найти длину катета прямоугольного треугольника, если его площадь равна $\frac{5000\sqrt{3}}{3}$, а один из острых углов равен 60°.

1. Формула для площади прямоугольного треугольника: Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \times a \times b$$

   где $a$ и $b$ — это катеты прямоугольного треугольника.

2. Использование угла 60°: Нам известно, что один из острых углов треугольника равен 60°. Это значит, что треугольник является прямоугольным и одновременно угловым, с углом 60° и углом 30° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°, и один угол — прямой, то оставшиеся два угла составляют 90°).

   В таком треугольнике катеты имеют особое соотношение. Напротив угла 60° находится катет, который в $\sqrt{3}$ раз больше катета, противоположного углу 30°.

   Обозначим:

   • $a$ — катет, противоположный углу 30°,
   • $b$ — катет, противоположный углу 60°.

   Из геометрии прямоугольного треугольника с углами 30° и 60° следует, что:

   $$b = a \cdot \sqrt{3}$$

   То есть катет, противоположный углу 60°, в $\sqrt{3}$ раза больше катета, противоположного углу 30°.

3. Используем формулу площади: Площадь треугольника выражается как:

   $$S = \frac{1}{2} \times a \times b$$

   Подставим $b = a \cdot \sqrt{3}$ в эту формулу:

   $$S = \frac{1}{2} \times a \times (a \cdot \sqrt{3}) = \frac{1}{2} \times a^2 \cdot \sqrt{3}$$

   Площадь по условию задачи равна $\frac{5000\sqrt{3}}{3}$, то есть:

   $$\frac{1}{2} \times a^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{5000\sqrt{3}}{3}$$

4. Решаем уравнение: Упростим уравнение, разделив обе части на $\sqrt{3}$:

   $$\frac{1}{2} \times a^2 = \frac{5000}{3}$$

   Умножим обе стороны на 2:

   $$a^2 = \frac{10000}{3}$$

   Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

   $$a = \sqrt{\frac{10000}{3}} = \frac{100}{\sqrt{3}}$$

   Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

   $$a = \frac{100\sqrt{3}}{3}$$

5. Находим длину катета, противоположного углу 60°: Так как $b = a \cdot \sqrt{3}$, то:

   $$b = \frac{100\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{100 \cdot 3}{3} = 100$$

Таким образом, длина катета, лежащего напротив угла 60°, равна 100.