В окружности проведена хорда длиной 12 см. Расстояние от центра окружности до хорды равно 8 см. Найдите радиус окружности.

Задача на нахождение радиуса окружности с использованием теоремы Пифагора.

Дано:

• Хорда длиной 12 см.
• Расстояние от центра окружности до хорды равно 8 см.

Рассмотрим задачу пошагово:

1. Обозначим элементы: Пусть $O$ — центр окружности, $AB$ — хорда длиной 12 см, и $C$ — точка на хорде, которая лежит на прямой, проходящей через центр окружности и перпендикулярной хорде. Таким образом, $OC$ — это расстояние от центра окружности до хорды, равное 8 см.

2. Свойства прямой, проходящей через центр и перпендикулярной хорде: Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит хорду пополам. Таким образом, отрезки $AC$ и $BC$ имеют одинаковую длину. Поскольку вся длина хорды $AB = 12$ см, то длина каждого из отрезков $AC$ и $BC$ будет $\frac{12}{2} = 6$ см.

3. Используем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике $OAC$ (где $OA$ — радиус окружности, $AC$ — половина хорды, а $OC$ — расстояние от центра до хорды) можно применить теорему Пифагора:

   $$OA^2 = AC^2 + OC^2$$

   Подставляем известные значения:

   $$OA^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$

   Следовательно,

   $$OA = \sqrt{100} = 10 \, \text{см}.$$

Таким образом, радиус окружности равен 10 см.