Прямые a и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков MN, где M Є a, N Є b, лежат на прямой, параллельной прямым a и b и равноудаленной от этих прямых.

Задание требует доказательства того, что середины всех отрезков MN, где M принадлежит прямой a, а N — прямой b, лежат на прямой, параллельной прямым a и b, и равноудалённой от них.

Доказательство:

1. Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны. Тогда они имеют одинаковое направление, то есть углы между ними и какой-либо фиксированной прямой одинаковы. Пусть прямые $a$ и $b$ расположены в плоскости, и расстояние между ними постоянно и равно некоторому значению $d$.

2. Рассмотрим произвольные точки $M$ на прямой $a$ и $N$ на прямой $b$. Нужно доказать, что середины отрезков $MN$ лежат на прямой, которая параллельна $a$ и $b$, и равноудалена от этих прямых.

3. Обозначим координаты точки $M$ как $(x_1, y_1)$, а координаты точки $N$ как $(x_2, y_2)$. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, их направления одинаковы, и можно считать, что разница их координат по оси $y$ постоянна. Таким образом, $y_2 - y_1 = d$, где $d$ — постоянное расстояние между прямыми.

4. Середина отрезка $MN$ имеет координаты, которые вычисляются по формуле для середины отрезка между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

5. Так как $y_2 - y_1 = d$, то $\frac{y_1 + y_2}{2} = y_1 + \frac{d}{2}$, то есть абсцисса $y$ середины отрезка всегда на одинаковом расстоянии от обеих прямых $a$ и $b$, и это расстояние равно $\frac{d}{2}$.

6. Таким образом, все середины отрезков $MN$ лежат на прямой, которая расположена на расстоянии $\frac{d}{2}$ от обеих прямых $a$ и $b$, что означает, что эта прямая равноудалена от $a$ и $b$.

7. Прямая, на которой лежат все эти середины, параллельна прямым $a$ и $b$, так как они параллельны, а также сохраняет постоянное расстояние между ними и прямыми $a$ и $b$.

Таким образом, мы доказали, что середины всех отрезков $MN$, где $M$ лежит на прямой $a$, а $N$ — на прямой $b$, лежат на прямой, параллельной $a$ и $b$, и равноудалённой от этих прямых.