Сторона правильного четырехугольника, вписанного в некоторую окружность, равна 2. найти сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

Для того чтобы найти сторону правильного треугольника, описанного около окружности, в которую вписан правильный четырехугольник, нужно выполнить несколько шагов.

1. Рассчитаем радиус окружности, в которую вписан правильный четырехугольник.

   Правильный четырехугольник — это квадрат, вписанный в окружность. Если сторона квадрата равна 2, то радиус окружности можно найти через диагональ квадрата.

   Диагональ квадрата связана с его стороной по формуле:

   $$d = a\sqrt{2}$$

   где $a$ — сторона квадрата. В нашем случае $a = 2$, следовательно:

   $$d = 2\sqrt{2}$$

   Диагональ квадрата является диаметром окружности, значит радиус окружности $R$ равен половине диагонали:

   $$R = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$

2. Теперь находим сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

   Для правильного треугольника, описанного около окружности, радиус окружности $R$ является радиусом вписанной окружности этого треугольника. В правильном треугольнике радиус вписанной окружности связан с длиной стороны треугольника $a_{\triangle}$ по формуле:

   $$R = \frac{a_{\triangle} \sqrt{3}}{6}$$

   Подставляем найденное значение радиуса $R = \sqrt{2}$:

   $$\sqrt{2} = \frac{a_{\triangle} \sqrt{3}}{6}$$

   Умножим обе стороны на 6 и разделим на $\sqrt{3}$:

   $$a_{\triangle} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 6 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$$

   Итак, сторона правильного треугольника, описанного около окружности, равна $2\sqrt{6}$.