Радиус окружности равен 5 см. Найдите расстояние от концов диаметра до точки окружности, если они относятся как 3:4.

Задача заключается в том, чтобы найти расстояние от концов диаметра окружности до некоторой точки на окружности, при условии, что эти расстояния относятся как 3:4.

1. Исходные данные:

   • Радиус окружности $R = 5 \, \text{см}$.
   • Диаметр окружности $D = 2R = 10 \, \text{см}$.
   • Требуется найти расстояние от концов диаметра до точки окружности, если эти расстояния относятся как 3:4.

2. Интерпретация условия: Пусть на окружности есть точка $P$. Точки, которые находятся на диаметре окружности, будут иметь расстояния до точки $P$, относящиеся как 3:4. Обозначим расстояния от концов диаметра до точки $P$ как $d_1$ и $d_2$, где $d_1$ — расстояние от одного конца диаметра, а $d_2$ — расстояние от другого конца диаметра. Из условия задачи известно, что:

   $$\frac{d_1}{d_2} = \frac{3}{4}.$$

3. Как решить задачу: Чтобы решить эту задачу, давайте применим координатную систему. Пусть центр окружности находится в начале координат (0, 0), а радиус $R = 5$ см. Тогда координаты концов диаметра будут: один конец на оси $x$ в точке $(5, 0)$, а другой — в точке $(-5, 0)$.

   Пусть точка $P$ находится на окружности с координатами $(x_P, y_P)$, где:

   $$x_P^2 + y_P^2 = 25.$$

   Расстояния от концов диаметра до точки $P$ можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками. Расстояние от точки $(5, 0)$ до точки $P$ будет равно:

   $$d_1 = \sqrt{(x_P - 5)^2 + y_P^2}.$$

   Расстояние от точки $(-5, 0)$ до точки $P$ будет равно:

   $$d_2 = \sqrt{(x_P + 5)^2 + y_P^2}.$$

   Из условия задачи известно, что:

   $$\frac{d_1}{d_2} = \frac{3}{4}.$$

   Подставив выражения для $d_1$ и $d_2$, получаем:

   $$\frac{\sqrt{(x_P - 5)^2 + y_P^2}}{\sqrt{(x_P + 5)^2 + y_P^2}} = \frac{3}{4}.$$

4. Упростим уравнение: Квадратируем обе части уравнения:

   $$\frac{(x_P - 5)^2 + y_P^2}{(x_P + 5)^2 + y_P^2} = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16}.$$

   Перемножаем крест-накрест:

   $$16 \left( (x_P - 5)^2 + y_P^2 \right) = 9 \left( (x_P + 5)^2 + y_P^2 \right).$$

5. Решение квадратного уравнения: Это уравнение можно упростить и решить для $x_P$ и