Дана окружность (O;OC). Из точки M, которая находится вне окружности, проведена секущая MB и касательная MC.
OD — перпендикуляр, проведённый из центра окружности к секущей MB и равный 9 см.
Найди радиус окружности, если известно, что MB равен 25 см и MC равен 5 см.

Ответ: радиус равен (целое число)
?см.

Дано:

• Окружность с центром в точке $O$, радиус которой $r$.
• Из точки $M$, расположенной вне окружности, проведены секущая $MB$ и касательная $MC$.
• $MB = 25$ см — длина секущей.
• $MC = 5$ см — длина касательной.
• $OD = 9$ см — длина перпендикуляра от центра окружности $O$ до секущей $MB$.

Необходимо найти радиус окружности $r$.

Решение:

1. Используем теорему о касательной и секущей: Теорема гласит, что если из точки $M$, находящейся вне окружности, проведены секущая $MB$ и касательная $MC$, то:

   $$MC^2 = MA \cdot MB,$$

   где $A$ — точка касания касательной $MC$ с окружностью.

   В нашем случае:

   $$MC = 5 \text{ см}, \quad MB = 25 \text{ см}.$$

   Подставим эти значения в формулу:

   $$5^2 = MA \cdot 25,$$ $$25 = MA \cdot 25,$$ $$MA = 1 \text{ см}.$$

2. Используем формулу для длины секущей: Длина секущей $MB$ равна сумме двух отрезков: $MA$ и $AB$, то есть:

   $$MB = MA + AB.$$

   Мы уже нашли, что $MA = 1$ см, следовательно:

   $$AB = MB - MA = 25 - 1 = 24 \text{ см}.$$

3. Используем перпендикуляр $OD$: Перпендикуляр $OD$ из центра окружности до секущей $MB$ разделяет секущую на два отрезка, причем $AB = 24$ см, и точка $D$ является серединой отрезка $AB$. Таким образом:

   $$AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}.$$

4. Применяем теорему Пифагора для треугольника $ODB$: В прямоугольном треугольнике $ODB$, где $OD = 9$ см, $DB = 12$ см, а $OB = r$ — радиус окружности, применим теорему Пифагора:

   $$OB^2 = OD^2 + DB^2.$$

   Подставляем известные значения:

   $$r^2 = 9^2 + 12^2,$$ $$r^2 = 81 + 144 = 225,$$ $$r = \sqrt{225} = 15 \text{ см}.$$

Ответ:

Радиус окружности равен $15$ см.