В равнобедренном треугольнике ABC сторона AB=5, угол CAB=45. Найдите высоту треугольника BD.

В равнобедренном треугольнике ABC сторона AB = 5, угол CAB = 45°. Задача состоит в нахождении высоты BD, проведенной из вершины B к основанию AC.

Шаг 1: Определим длину основания AC.

В равнобедренном треугольнике угол при основании равен углу при вершине, то есть угол ABC = угол ACB. Поскольку угол CAB = 45°, то угол ABC = угол ACB = (180° - 45°) / 2 = 67,5°.

Теперь, чтобы найти длину основания AC, можно воспользоваться свойствами треугольника. Мы видим, что если провести высоту BD, она будет перпендикулярна основанию AC и делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Высота BD делит основание AC пополам. Обозначим половину основания AC как $x$. Таким образом, $AC = 2x$.

В прямоугольном треугольнике ABD можно применить тригонометрические функции. Из угла CAB (45°) мы знаем, что синус этого угла равен отношению противоположного катета (BD) к гипотенузе (AB):

Так как $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

откуда

Шаг 2: Ответ.

Таким образом, высота BD равна $\frac{5\sqrt{2}}{2}$, что примерно равно 3,535.

Ответ: высота BD = $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ или примерно 3,535.