Докажите, что если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.

Чтобы доказать, что параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом, нужно воспользоваться несколькими свойствами параллелограмма и диагоналей.

1. Основные свойства параллелограмма:

   • В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны.

   • Диагонали параллелограмма пересекаются в их серединах.

2. Перпендикулярность диагоналей:
   Пусть диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и перпендикулярны (то есть угол между ними $90^\circ$).

3. Свойства диагоналей параллелограмма:
   Из геометрии известно, что в параллелограмме, в котором диагонали перпендикулярны, треугольники, образованные половинами диагоналей, являются прямоугольными и равнобедренными. Это происходит потому, что в таких треугольниках катеты (половины диагоналей) равны.

4. Доказательство, что параллелограмм — ромб:

   • Рассмотрим треугольники, образованные половинами диагоналей. Пусть $OA = OB$, $OC = OD$, где $O$ — точка пересечения диагоналей.

   • В этих треугольниках $OAB$ и $OCD$ угол между диагоналями равен $90^\circ$, и катеты $OA = OB$ и $OC = OD$ равны соответственно. Это означает, что все стороны параллелограмма равны. Если стороны равны, то параллелограмм является ромбом.

Таким образом, мы доказали, что если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то все его стороны равны, а значит, он является ромбом.