Площадь прямоугольного треугольника равна 200 корней из 3 делена на 3.Один из острых углов равен 60 градусам. Найдите длину катита , лежащего на против этого угла.
Зарание большое спасибо!

Для решения этой задачи важно помнить, что площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения его катетов. Также полезно вспомнить свойства треугольников с углами 30 и 60 градусов.

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, причем $a$ - это катет, который лежит напротив угла в 60 градусов. Площадь $S$ такого треугольника равна $\frac{1}{2}ab$.

Из условия задачи известно, что $S = \frac{200\sqrt{3}}{3}$. Итак, у нас есть уравнение:

$\frac{1}{2}ab = \frac{200\sqrt{3}}{3}$

В прямоугольном треугольнике, где один из углов равен 60 градусам, катет, лежащий напротив этого угла, в два раза меньше гипотенузы. Если $a$ - катет, лежащий напротив угла в 60 градусов, то гипотенуза $c$ равна $2a$, а другой катет $b$, согласно свойствам таких треугольников, равен $a\sqrt{3}$.

Теперь подставим $b = a\sqrt{3}$ в наше уравнение:

$\frac{1}{2}a(a\sqrt{3}) = \frac{200\sqrt{3}}{3}$

Раскрываем скобки:

$\frac{1}{2}a^2\sqrt{3} = \frac{200\sqrt{3}}{3}$

Отсюда:

$a^2 = \frac{200\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{400}{3}$

Таким образом:

$a = \sqrt{\frac{400}{3}}$

Вычисляем $a$:

$a = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$a = \frac{20\sqrt{3}}{3}$

Таким образом, длина катета, лежащего напротив угла 60 градусов, равна $\frac{20\sqrt{3}}{3}$.