108. Докажите неравенство: а) (5-2√3)(6+5√3) > 13; б) (√3-1)(√2+1) > (√2+2)(√3−2).

а) Раскроем скобки:

\[ (5-2\sqrt{3})(6+5\sqrt{3})=30+25\sqrt{3}-12\sqrt{3}-30=13\sqrt{3}. \]

Так как \( \sqrt{3}>1 \), то \( 13\sqrt{3}>13 \). Значит, неравенство доказано.

б) Сравним выражения, вычтем правую часть из левой:

\[ (\sqrt{3}-1)(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}+2)(\sqrt{3}-2). \]

Раскроем скобки:

\[ \sqrt{6}+\sqrt{3}-\sqrt{2}-1-(\sqrt{6}-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-4). \]

Упростим:

\[ 3+\sqrt{2}-\sqrt{3}. \]

Так как \( \sqrt{3}3+\sqrt{2}-2=1+\sqrt{2}>0. \]

Разность положительна, значит левая часть больше правой.

0 0 Пожаловаться