В тупоугольном треугольнике ABC AC = BC = 8, высота AH равна 4. Найдите sin ACB.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC = BC = 8$, то есть треугольник равнобедренный с основанием $AB$ и вершиной $C$. По условию, треугольник тупоугольный, а высота $AH$, опущенная из вершины $A$ на основание $BC$, равна 4.

Однако тут возможна путаница: если треугольник равнобедренный с $AC = BC = 8$, и высота проведена из вершины $A$, то тогда основание — это $BC$, а не $AB$. Значит, высота $AH$ опущена из вершины $A$ на сторону $BC$. Но $AC = BC = 8$, и если высота из $A$ на $BC$, это может быть только в том случае, если треугольник не равносторонний — что согласуется, ведь он тупоугольный.

Рассмотрим треугольник $ABC$ с вершиной $C$, напротив основания $AB$, и сторонами $AC = BC = 8$. Тогда $C$ — вершина равнобедренного треугольника, и угол $\angle ACB$ — тот, который нужно найти. В треугольнике проведена высота $AH$, опущенная на сторону $BC$, и её длина равна 4.

Рассмотрим треугольник $AHC$, прямоугольный, в котором $AH$ — высота, а $AC = 8$ — гипотенуза. Тогда по определению синуса угла:

Таким образом, ответ:

Это значение соответствует углу $\angle ACB = 30^\circ$, но поскольку треугольник тупоугольный, возможно, что тупой угол — это не угол $C$, а один из других. Однако синус угла в любом случае зависит только от величины угла, и если из треугольника известно, что синус равен $\frac{1}{2}$, то это единственно возможное значение для искомого угла.