ABCD — квадрат со стороной 4 см. Треугольник AMB имеет общую сторону AB с квадратом, AM = BM = 2√6 см. Плоскости треугольника и квадрата взаимно перпендикулярны. 1) Докажите, что BC перпендикулярна AM. 2) Найдите угол между MC и плоскостью квадрата. 3) Найдите расстояние от A до плоскости DMC.

Дано

• Квадрат $ABCD$ со стороной $AB=BC=CD=DA=4\;\text{см}$, его плоскость обозначим $\alpha$.

• Треугольник $AMB$ имеет общую сторону $AB$ с квадратом, причём
  $AM=BM=2\sqrt6\;\text{см}$. Его плоскость обозначим $\beta$.

• Плоскости $\alpha$ и $\beta$ взаимно перпендикулярны, их линия пересечения — прямая $AB$.

1) Доказать, что $BC\perp AM$

В плоскости квадрата $\alpha$ стороны $AB$ и $BC$ взаимно перпендикулярны, то есть
$BC\perp AB$.

Из свойства взаимно перпендикулярных плоскостей:

Если две плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $l$ и некоторая прямая $m\subset\alpha$ перпендикулярна $l$, то $m$ перпендикулярна всей плоскости $\beta$.

Здесь $l=AB$, $m=BC\subset\alpha$. Следовательно
$BC\perp\beta$.

Так как $AM\subset\beta$, то линия, перпендикулярная плоскости $\beta$, перпендикулярна любой прямой, лежащей в $\beta$. Значит

2) Угол между $MC$ и плоскостью квадрата

Введём удобную прямоугольную систему координат:

причём плоскость квадрата — это $(x,y,0)$.

Плоскость $\beta$ перпендикулярна $\alpha$ по $AB$; без потери общности положим $\beta: y=0$.
Точка $M$ принадлежит $\beta$ и равноудалена от $A$ и $B$:

Вектор

Длина проекции $\overrightarrow{MC}$ на плоскость квадрата (то есть модуль его $(x,y)$-компоненты) равна

Полная длина $MC$:

Угол $\varphi$ между прямой $MC$ и плоскостью $\alpha$ — это угол между вектором и его проекцией, поэтому