Вопрос задан 23.06.2025 в 06:17. Предмет Геометрия. Спрашивает Ипполитов Данил.

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что AC1=2BC. Найдите угол между диагоналями BD1 и CA1. Ответ дайте в градусах.

0 0 Пожаловаться
Перейти к ответам
Отвечу на вопрос мгновенно! Нейросеть ChatGPT. Жми!

Ответы на вопрос

Отвечает Шушунов Пётр.

Пусть сторона основания призмы BC=aBC=a, а высота AA1=hAA_1=h.

1. Расставим координаты

Разместим квадрат ABCDABCD в плоскости z=0z=0:

A(0,0,0),  B(a,0,0),  C(a,a,0),  D(0,a,0),A(0,0,0),\; B(a,0,0),\; C(a,a,0),\; D(0,a,0),

а вершины верхнего основания—на высоте hh:

A1(0,0,h),  B1(a,0,h),  C1(a,a,h),  D1(0,a,h).A_1(0,0,h),\; B_1(a,0,h),\; C_1(a,a,h),\; D_1(0,a,h).

2. Запишем условие задачи

Диагональ AC1AC_1 имеет длину

AC1=a2+a2+h2=2a2+h2,AC_1=\sqrt{a^{2}+a^{2}+h^{2}}=\sqrt{2a^{2}+h^{2}},

а по условию AC1=2BC=2aAC_1=2BC=2a. Следовательно,

2a2+h2=(2a)2=4a2⟹h2=2a2.2a^{2}+h^{2}=(2a)^{2}=4a^{2}\quad\Longrightarrow\quad h^{2}=2a^{2}.

3. Векторы диагоналей

BD1⃗=D1−B=(−a,  a,  h),CA1⃗=A1−C=(−a,  −a,  h).\vec{BD_1}=D_1-B=(-a,\;a,\;h),\qquad \vec{CA_1}=A_1-C=(-a,\;-a,\;h).

4. Косинус угла между ними

Скалярное произведение:

BD1⃗⋅CA1⃗=(−a)(−a)+a(−a)+h⋅h=a2−a2+h2=h2.\vec{BD_1}\cdot\vec{CA_1}=(-a)(-a)+a(-a)+h\cdot h=a^{2}-a^{2}+h^{2}=h^{2}.

Длины:

∣BD1⃗∣2=(−a)2+a2+h2=2a2+h2,∣CA1⃗∣2=2a2+h2.|\vec{BD_1}|^{2}=(-a)^{2}+a^{2}+h^{2}=2a^{2}+h^{2},\qquad |\vec{CA_1}|^{2}=2a^{2}+h^{2}.

По формуле косинуса:

cos⁡θ=h22a2+h2.\cos\theta=\frac{h^{2}}{2a^{2}+h^{2}}.

Подставляя h2=2a2h^{2}=2a^{2}:

cos⁡θ=2a22a2+2a2=12⟹θ=60∘.\cos\theta=\frac{2a^{2}}{2a^{2}+2a^{2}}=\frac12\quad\Longrightarrow\quad\theta=60^\circ.

0 0 Пожаловаться
Спроси у Chat GPT бесплатно без регистрации!

Похожие вопросы

Геометрия 16.02.2025 07:31 331 Наумова Алла
Геометрия 07.02.2025 22:08 172 Askerbekova Zaure
Геометрия 21.02.2025 22:40 241 Гольцова Катюша
Геометрия 17.12.2024 16:25 241 Bekenov Daulet
Геометрия 28.12.2024 10:06 106 Становов Андрей
Геометрия 16.01.2024 02:12 396 Бичевая Софья
Геометрия 31.12.2023 21:39 287 Храбрых Полина
Геометрия 28.03.2025 15:06 101 Панов Данил
Геометрия 31.03.2025 06:15 107 Черенков Максим
Геометрия 28.03.2025 12:55 105 Воронкова Алисуня

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Геометрия 24.12.2023 17:27 2394 Тимофеев Даниил
Геометрия 25.06.2025 15:49 28 Ситников Миша
Геометрия 08.01.2024 14:27 488 Зеленская Яна
Геометрия 12.02.2025 00:06 141 Череповский Илья
Геометрия 12.01.2024 00:46 851 Савчук Дмитрий
Геометрия 21.03.2025 11:31 647 Свириденко Таня
Геометрия 20.12.2024 12:54 169 Финогенова Ульяна
Геометрия 14.01.2024 04:48 2458 Лашкевичева Илона
Геометрия 22.01.2024 00:36 392 Зайцева Диана
Геометрия 02.04.2025 12:12 108 Паламарчук Виктория

Последние заданные вопросы в категории Геометрия

Геометрия 03.09.2025 11:20 43 Баранова Юля
Геометрия 06.09.2025 15:04 16 Пучков Саша
Геометрия 06.09.2025 14:54 17 Вергун Алеся
Геометрия 06.09.2025 14:33 19 DELETED
Геометрия 06.09.2025 14:20 18 Мисюрева Софья
Геометрия 06.09.2025 14:08 10 Доля Яна
Геометрия 06.09.2025 14:09 10 DELETED
Геометрия 06.09.2025 10:35 10 Сахаров Егор
Геометрия 06.09.2025 10:28 18 Лебрет Валерия
Геометрия 06.09.2025 06:59 12 Кайдалин Денис
< Предыдущий Следующий >
Предметы
Задать вопрос
Задать вопрос