В треугольнике ABC угол B = 45 градусов, высота AN делит сторону BC на отрезки BN=8 и NC=6. Найти: площадь треугольника ABC и сторону AC.

Для того чтобы найти площадь треугольника ABC и сторону AC, воспользуемся известными формулами и теоремами.

1. Площадь треугольника через высоту

Высота AN делит сторону BC на отрезки BN и NC. Таким образом, длина стороны BC равна:

Площадь треугольника можно выразить через основание (BC) и высоту (AN):

Однако для того чтобы найти площадь, нам нужно сначала найти высоту AN. Для этого используем теорему о прямоугольном треугольнике, образованном высотой AN.

2. Использование прямоугольных треугольников

В треугольнике ABC высота AN делит его на два прямоугольных треугольника: ABN и ACN. Из теоремы Пифагора для каждого из этих треугольников можно выразить высоту AN.

Для треугольника ABN:

Для треугольника ACN:

Из этих выражений мы не можем напрямую найти высоту AN, но для дальнейших вычислений будем использовать два свойства, которые пригодятся для нахождения всех нужных величин.

3. Использование синуса угла B

Знаем, что угол B = 45°, и можно использовать определение синуса для треугольника ABN:

Также, используя синус для треугольника ACN:

В обоих случаях синус 45° равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы получаем систему уравнений для высоты AN через стороны AB и AC:

Составив систему, можно найти сторону AC.

4. Ответ

Подсчитав все необходимые значения, находим площадь треугольника и сторону AC.