В равнобедренном треугольнике АВС боковые стороны АВ=ВС=5, медиана ВМ=4. Найдите cos угла ВАС.

Для того чтобы найти косинус угла $\angle BAC$ в равнобедренном треугольнике ABC, где боковые стороны $AB = BC = 5$, а медиана $BM = 4$, воспользуемся теоремой о медиане и некоторыми свойствами геометрии.

1. Разбиение треугольника на два прямоугольных треугольника:
   Медиана $BM$ делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то медиана $BM$ перпендикулярна основанию $AC$ и делит его пополам. Таким образом, $AM = MC = \frac{AC}{2}$.

2. Применение теоремы Пифагора:
   В прямоугольном треугольнике $ABM$ можно применить теорему Пифагора для нахождения длины основания $AM$:

   $$AB^2 = AM^2 + BM^2$$

   Подставим известные значения:

   $$5^2 = AM^2 + 4^2$$ $$25 = AM^2 + 16$$ $$AM^2 = 25 - 16 = 9$$ $$AM = 3$$

   Таким образом, длина отрезка $AM$ равна 3, следовательно, длина всего основания $AC = 2 \times AM = 6$.

3. Использование косинуса угла через скалярное произведение:
   Чтобы найти $\cos \angle BAC$, применим скалярное произведение вектора $\overrightarrow{AB}$ и вектора $\overrightarrow{AC}$. Для этого нам нужно использовать формулу:

   $$\cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \times AB \times AC}$$

   Подставим значения:

   $$\cos \angle BAC = \frac{5^2 + 6^2 - 5^2}{2 \times 5 \times 6}$$ $$\cos \angle BAC = \frac{25 + 36 - 25}{2 \times 5 \times 6}$$ $$\cos \angle BAC = \frac{36}{60} = 0.6$$

Таким образом, $\cos \angle BAC = 0.6$.