В треугольнике АВС угол С=90, СН - высота, АВ=27, cosA=2/3. Найдите АН.

Дано, что в треугольнике ABC угол C = 90°, CH — высота, AB = 27, cosA = 2/3.

Нужно найти длину отрезка АН.

1. Используем косинус угла A:
   Косинус угла A равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. В треугольнике ABC угол C прямой, поэтому гипотенуза — это отрезок AB, а прилежащий катет к углу A — это катет AC.

   $$\cos A = \frac{\text{AC}}{\text{AB}} = \frac{2}{3}$$

   Так как AB = 27, то можно найти длину катета AC:

   $$\frac{\text{AC}}{27} = \frac{2}{3}$$ $$\text{AC} = 27 \times \frac{2}{3} = 18$$

2. Найдем катет BC:
   Поскольку треугольник прямоугольный, можно применить теорему Пифагора:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

   Подставляем известные значения:

   $$27^2 = 18^2 + BC^2$$ $$729 = 324 + BC^2$$ $$BC^2 = 729 - 324 = 405$$ $$BC = \sqrt{405} = 9\sqrt{5}$$

3. Используем формулу для площади треугольника:
   Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

   • Через катеты: $\frac{1}{2} \times AC \times BC$

   • Через основание и высоту: $\frac{1}{2} \times AB \times CH$

   Площадь треугольника через катеты:

   $$S = \frac{1}{2} \times 18 \times 9\sqrt{5} = 81\sqrt{5}$$

   Площадь через основание и высоту:

   $$S = \frac{1}{2} \times 27 \times CH$$

   Приравниваем два выражения для площади:

   $$81\sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 27 \times CH$$

   Умножаем обе части на 2:

   $$162\sqrt{5} = 27 \times CH$$

   Разделим на 27:

   $$CH = \frac{162\sqrt{5}}{27} = 6\sqrt{5}$$

4. Найдем АН:
   В прямоугольном треугольнике AHC высота CH делит гипотенузу AB на два отрезка: АН и НВ. При этом, по теореме о высоте, площадь треугольника ABC можно выразить как:

   $$S = \frac{1}{2} \times AB \times CH = \frac{1}{2} \times АН \times НВ$$

   Но так как AB = АН + НВ, и известно, что AB = 27, можем выразить АН через CH. Так как длина АН пропорциональна катету AC, то:

   $$АН = \frac{AC^2}{AB}$$

   Подставляем значения:

   $$АН = \frac{18^2}{27} = \frac{324}{27} = 12$$

Ответ: длина отрезка АН равна 12.