Всё о вписанной окружности

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Для любого правильного многоугольника вписанная окружность будет одной и той же, но для других многоугольников она может быть уникальной в зависимости от их формы.

1. Определение: Вписанная окружность — это такая окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Это означает, что каждая сторона многоугольника является касательной к окружности в одной точке.

2. Свойства:

   • Точка касания: Каждая сторона многоугольника касается окружности в одной точке.

   • Центр окружности: Центр вписанной окружности называется инцентром. Он находится на пересечении биссектрис углов многоугольника.

   • Радиус: Радиус вписанной окружности называется инрадиусом. Он зависит от площади и периметра многоугольника.

   • Площадь и инрадиус: Для многоугольников, у которых есть вписанная окружность, площадь $S$ может быть выражена через инрадиус $r$ и полупериметр $p$ (половину периметра многоугольника) по формуле:

     $$S = r \cdot p$$

   • Правильный многоугольник: Для правильных многоугольников (например, правильный треугольник, квадрат и так далее) инцентр совпадает с центром симметрии, а радиус вписанной окружности одинаков для всех сторон.

3. Вписанная окружность в треугольнике:
   В треугольнике вписанная окружность касается всех трех сторон. Центр окружности (инцентр) лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Радиус вписанной окружности в треугольнике можно вычислить по формуле:

   $$r = \frac{S}{p}$$

   где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — полупериметр треугольника.

4. Построение вписанной окружности:
   Чтобы построить вписанную окружность многоугольника (например, треугольника), нужно:

   • Построить биссектрисы углов многоугольника (в треугольнике — это углы всех трех вершин).

   • Найти точку их пересечения, это и будет центр вписанной окружности.

   • С помощью компаса провести окружность, радиус которой будет равен расстоянию от центра до любой из сторон многоугольника.

5. Применение вписанных окружностей:
   Вписанные окружности широко применяются в геометрии для решения задач, связанных с оптимизацией, минимизацией площади и нахождением важных параметров геометрических фигур. Например, в задачах на нахождение радиуса окружности, касающейся всех сторон треугольника или многоугольника.