Диагональ AC трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что AC² = a · b, где a и b — основания трапеции.

Для доказательства того, что диагональ $AC$ трапеции $ABCD$ делит её на два подобных треугольника и что выполняется равенство $AC^2 = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, воспользуемся свойствами подобных треугольников и теоремой о пропорциональности сторон.

1. Обозначим:

   • $AB = a$ и $CD = b$ — основания трапеции $ABCD$,

   • $AC$ — диагональ, которая делит трапецию на два треугольника $ABC$ и $CDA$.

2. Трапеция $ABCD$ имеет одну пару противоположных сторон, которые параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Диагональ $AC$ делит трапецию на два треугольника: треугольник $ABC$ и треугольник $CDA$.

3. Поскольку $AB \parallel CD$, то эти два треугольника $ABC$ и $CDA$ являются подобными (по признаку подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а угол между этими сторонами равен, то треугольники подобны). Это значит, что их соответствующие стороны пропорциональны.

4. Рассмотрим пропорции для подобных треугольников:

   $$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{CD}.$$

   Подставим $AB = a$ и $CD = b$:

   $$\frac{a}{AC} = \frac{AC}{b}.$$

5. Умножив обе части уравнения на $AC$ и $b$, получаем:

   $$a \cdot b = AC^2.$$

Таким образом, мы доказали, что $AC^2 = a \cdot b$, как и требовалось.